São apresentadas neste e nos próximos três Tópicos, a descrição de um problema físico de difusão, as condições de contorno que o modelamento do problema específico exige e a solução 1 da equação diferencial parcial. Esta equação é a expressão matemática da Segunda Lei de Fick (veja tópico acima).
Uma técnica experimental utilizada para a medição do coeficiente de difusão D envolve a aplicação de um filme fino2 de um material radioativo sobre um metal puro (hospedeiro), e é denominada método do traçador radioativo. Considere-se que duas hastes semi-infinitas, de um mesmo metal puro, ricas no metal A, sejam unidas pelas extremidades e que, entre elas, foi depositado um filme fino com uma quantidade igual a \( \alpha \) do metal B que irá se difundir para o interior das duas barras. O soluto pode ser um isótopo3 do metal das barras. Este sistema está representado na Figura 2.2.19, num gráfico de concentração C da espécie em difusão (soluto) em função da distância x. A origem do sistema é o filme.
Para resolver a equação diferencial (2.7) , a Segunda Lei de Fick, \( \frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial ^2 C}{\partial x ^ 2} \) , são necessárias as condições de contorno que expressem, matematicamente, o problema proposto acima. Estas condições são:
a- Para |x| > 0 , teremos C → 0 quando t → 0 .
b- Para x = 0 , teremos C → ∞ quando t → 0 .
c- Para x = 0 , teremos \( \frac{\alpha}{2\sqrt{\pi Dt}} \) quando t > 0 .
d- Para t → ∞ , teremos C → 0 quando t > 0 .
Para estas condições a solução da equação (2.7) é:
\[ C(x,t) = \frac{\alpha}{2\sqrt{\pi Dt}}exp(-\frac{x ^ {2}}{4Dt}) \tag{2.25} \]
O parâmetro importante é \( \chi \approx \sqrt{Dt} \) que indica, aproximadamente, a distância da difusão durante o tempo t. Um exemplo para este caso é a difusão de um metal nobre radioativo (o isótopo radioativo do ouro Au195 dezenas de horas até dezenas de dias e as temperaturas utilizadas ficam em torno de 80%-95% da temperatura de fusão do metal.
1Uma Equação Diferencial Parcial é uma equação envolvendo uma função incógnita de várias variáveis independentes e suas derivadas parciais em função destas variáveis. Equações Diferenciais Parciais são usadas para modelar fenômenos e, em seguida, resolver matematicamente problemas que envolvem funções com várias variáveis, como acontecem na propagação do som e do calor, fluxos, difusão, etc.
Uma solução de uma equação de derivadas parciais é uma equação, obtida para condições de contorno pré-fixadas.
2 Um filme fino é uma fina camada de material que pode variar de 1 nanometro (nm) até alguns micrometros (m).
3 Um elemento químico é identificado pelo número de prótons em seu núcleo (Z). Átomos com o mesmo número de prótons em seu núcleo mas com número diferente de nêutrons são chamados de isótopos.
