A Equação diferencial 2.7 do tópico anterior é utilizada para descrever o processo de difusão nas condições indicadas na Figura 2.2.5. As condições de contorno ou hipóteses devem ser assumidas neste caso:
1-Para t=0, C=C0 para \( 0\leq x\leq\infty \) 2-Para t > 0, C=Cs para x=0 e C=C0 para \(x=\infty\)
A solução da equação diferencial (2.7), aplicando-se estas condições de contorno, é a seguinte: \[ \frac{C_{x}-C_{0}}{C_{S}-C_{0}}= 1 – erf (\frac{x}{2\sqrt{Dt}}) \tag{2.8} \]
A função \( erf(z)=(\frac{X}{2\sqrt{Dt}}) \) é a integral normalizada de probabilidade ou função de erro de Gauss1. A função de erro de Gauss é definida como: \[ erf (z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0} ^{z} e ^{- y^{2}}dy \tag{2.9} \]
em que \( \frac{X}{2\sqrt{Dt}} \) é a variável z. Os valores da função de erro de Gauss z=erf(y), como de outras funções matemáticas comuns são tabuladas.
A importância da curva mostrada na Figura 2.2.6 está na inter-relação existente entre a distância, o tempo, o coeficiente de difusão e a concentração, durante a difusão. Se , e forem conhecidos num material, deve ser uma função do parâmetro adimensional . Se desejamos dobrar a profundidade de penetração, o tempo de difusão deverá ser quatro vezes maior. De modo geral, para uma profundidade n vezes maior que a original, o tempo de difusão deverá ser multiplicado por . As variações no coeficiente de difusão são equivalentes às variações no tempo de difusão, ou seja, se D for dobrado, metade do tempo será necessário para se atingir a mesma profundidade. Para se produzir uma determinada concentração numa certa região de um material, ou para se conseguir difundir para dentro do material uma certa fração da quantidade necessária à saturação total, é necessário apenas manter o mesmo valor de , em que L é uma dimensão que caracteriza o tamanho do objeto.
A Figura 2.2.5 apresenta um exemplo de aço cementado. Uma barra de aço com 0,24% de carbono inicial foi aquecida a 870°C na presença de carbono em excesso. As áreas ricas em carbono foram escurecidas com ataque químico.
1Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), matemático e cientista alemão com importantes contribuições na matemática, astronomia, óptica, eletrostática, etc.
